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发表于 2025-1-30 18:03
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问了一下Deepseek，给出了几种解法
### 问题陈述
我们有5本不同的书，要发给3个学生看。每个学生至少要拿到1本书。问有多少种不同的发法？
### 初步理解
首先，我需要理解问题的具体要求：
1. **5本不同的书**：每本书都是独一无二的，可以区分。
2. **发给3个学生**：有3个不同的接收者。
3. **每个学生至少拿到1本书**：不能有学生没有书。
我的目标是计算满足以上条件的所有可能的分配方式。
### 分析问题
这个问题涉及到将不同的物品（书）分配给不同的接收者（学生），并且每个接收者至少得到一个物品。这属于组合数学中的分配问题。
具体来说，这是一个“将n个不同的物品分配给k个不同的接收者，每个接收者至少得到一个物品”的问题。在本题中，n=5，k=3。
### 寻找解决方法
在组合数学中，这类问题通常使用“容斥原理”或“斯特林数”来解决。我决定尝试使用容斥原理来解决这个问题。
#### 容斥原理简介
容斥原理用于计算在多个集合中，至少满足一个条件的元素数量。在分配问题中，我们可以利用容斥原理来计算每个学生至少得到一本书的分配方式。
#### 应用容斥原理
首先，计算所有可能的分配方式，不考虑每个学生至少得到一本书的限制。然后，减去那些不满足条件的分配方式。
1. **总分配方式**：每本书有3个选择（发给3个学生中的任何一个），所以总共有 \(3^5\) 种分配方式。
2. **减去至少有一个学生没有书的分配方式**：
- 使用容斥原理，计算至少有一个学生没有书的情况。
- 首先，计算只有一个学生没有书的情况。
- 然后，减去有两个学生没有书的情况（因为被重复计算了）。
- 最后，加上所有三个学生都没有书的情况（实际上不可能，因为总共有5本书）。
具体步骤如下：
- **计算只有一个学生没有书的分配方式**：
- 选择1个学生不拿书，有 \(C(3,1)\) 种选择。
- 剩下的2个学生分配5本书，每本书有2个选择，所以有 \(2^5\) 种方式。
- 因此，总共有 \(C(3,1) \times 2^5\) 种方式。
- **计算有两个学生没有书的分配方式**：
- 选择2个学生不拿书，有 \(C(3,2)\) 种选择。
- 剩下的1个学生分配5本书，每本书有1个选择，所以有 \(1^5\) 种方式。
- 因此，总共有 \(C(3,2) \times 1^5\) 种方式。
- **计算所有三个学生都没有书的分配方式**：
- 这是不可能的，因为总共有5本书需要分配。
- 所以，这种情况有0种方式。
根据容斥原理，满足每个学生至少得到一本书的分配方式为：
\[
\text{总分配方式} - \text{至少一个学生没有书的方式} + \text{至少两个学生没有书的方式} - \text{所有三个学生没有书的方式}
\]
即：
\[
3^5 - C(3,1) \times 2^5 + C(3,2) \times 1^5 - 0
\]
### 计算具体数值
现在，我需要计算上述表达式中的每一项。
1. **计算 \(3^5\)**：
\[
3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243
\]
2. **计算 \(C(3,1) \times 2^5\)**：
- \(C(3,1) = 3\)（选择1个学生不拿书）
- \(2^5 = 32\)（剩下的2个学生分配5本书）
- 所以，\(3 \times 32 = 96\)
3. **计算 \(C(3,2) \times 1^5\)**：
- \(C(3,2) = 3\)（选择2个学生不拿书）
- \(1^5 = 1\)（剩下的1个学生分配5本书）
- 所以，\(3 \times 1 = 3\)
4. **计算所有三个学生没有书的方式**：
- 这是不可能的，所以为0。
将这些值代入容斥原理的公式：
\[
243 - 96 + 3 - 0 = 150
\]
### 验证结果
为了确保计算的准确性，我决定通过另一种方法来验证这个结果。我选择使用“斯特林数”来解决这个问题。
#### 斯特林数简介
斯特林数用于计算将n个不同的物品划分为k个非空子集的方式数。在本题中，我们需要将5本书分配给3个学生，每个学生至少得到一本书，相当于将5本书划分为3个非空子集，然后将这些子集分配给3个学生。
因此，总的分配方式为：
\[
S(5,3) \times 3!
\]
其中，\(S(5,3)\) 是第二类斯特林数，表示将5个物品划分为3个非空子集的方式数；\(3!\) 是将这3个子集分配给3个学生的排列数。
#### 计算斯特林数 \(S(5,3)\)
第二类斯特林数的递推公式为：
\[
S(n,k) = k \times S(n-1,k) + S(n-1,k-1)
\]
已知：
\[
S(0,0) = 1 \\
S(n,0) = 0 \quad \text{对于} \quad n > 0 \\
S(0,k) = 0 \quad \text{对于} \quad k > 0 \\
\]
计算 \(S(5,3)\)：
1. \(S(1,1) = 1\)
2. \(S(2,1) = 1\)
3. \(S(2,2) = 1\)
4. \(S(3,1) = 1\)
5. \(S(3,2) = 3\)
6. \(S(3,3) = 1\)
7. \(S(4,1) = 1\)
8. \(S(4,2) = 7\)
9. \(S(4,3) = 6\)
10. \(S(4,4) = 1\)
11. \(S(5,1) = 1\)
12. \(S(5,2) = 15\)
13. \(S(5,3) = 25\)
14. \(S(5,4) = 10\)
15. \(S(5,5) = 1\)
所以，\(S(5,3) = 25\)。
#### 计算排列数 \(3!\)
\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\]
#### 计算总分配方式
\[
S(5,3) \times 3! = 25 \times 6 = 150
\]
这个结果与之前使用容斥原理得到的结果一致，验证了我们的计算是正确的。
### 结论
通过两种不同的方法（容斥原理和斯特林数），我们得到了相同的结果。因此，将5本不同的书发给3个学生，每个学生至少拿到1本书的分配方式共有 **150种**。
### 最终答案
将5本不同的书发给3个学生，每个学生至少拿到1本书的分配方式共有 **150种**。
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